El conjunto de los números racionales, Q, se define como el conjunto de cocientes entre dos números enteros, es decir,
Q = { a / b / a, b € Z, b ≠ 0 y mcd (a,b) = 1}
Racional positivo. Un número racional es positivo cuando el producto de los signos del numerador y del denominador es positivo.
Racional negativo. Un número racional es negativo cuando el producto de los signos del numerador y del denominador es negativo.
Racional nulo. Un número racional es nulo cuando el numerador es cero y el denominador es cualquier número entero diferente de cero.
Racional entero. Un número racional es entero cuando su denominador es uno
Un número racional decimal se clasifica en: decimal exacto, decimal periódico puro y decimal periódico mixto.
Decimal exacto
El número decimal exacto es aquel que tiene parte decimal finita. Se obtiene a partir de fracciones decimales o de fracciones equivalentes a una fracción decimal. Por ejemplo, 1,24; 0,1; 18,05 y 125,1 son números decimales exactos.
Decimal periódico
Todo número racional que no es equivalente a una fracción decimal se puede expresar como un número decimal al dividir el numerador entre el denominador.
Un número decimal periódico puede ser: periódico puro o periódico mixto.
Decimal periódico puro
Es un decimal inexacto cuya parte decimal es infinita y tiene un número o grupo de números que se repiten indefinidamente a partir de las décimas. Por ejemplo, 0,1212... o 0,333..., son decimales periódicos puros, cuyos períodos son 12 y 3, respectivamente. Estos decimales periódicos puros
Decimal periódico mixto
Es un decimal inexacto cuya parte decimal es infinita y tiene un período que no comienza en las décimas. Por ejemplo, 0,59191... es un decimal periódico mixto, cuyo período, 91, no empieza a partir de las décimas.
Para sumar o restar dos o más números racionales cuyos denominadores son iguales se realiza el siguiente procedimiento:
Dos o más fracciones con diferente denominador se pueden sumar o restar de la siguiente manera:
Clausurativa. La adición de dos números racionales es siempre otro número racional.
Conmutativa. El orden en el que se realiza la suma de dos números racionales no altera el resultado.
Asociativa. Cuando se suman dos o más números racionales, se pueden agrupar los sumandos de diferente forma y siempre se obtiene el mismo resultado.
Elemento neutro. La suma de todo número racional con el cero da como resultado el mismo número racional. El 0 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la adición de racionales.
Elemento simétrico u opuesto aditivo. Todo número racional sumado con su opuesto da como resultado el módulo de la adición.
Para multiplicar números racionales en forma de fracción se multiplican entre si los numeradores y los denominadores entre sí. El resultado se simplifica si es posible.
En algunas ocasiones es posible simplificar antes de multiplicar, es importante hacerlo, ya que este proceso facilita la solución del ejercicio.
Clausurativa. La multiplicación de dos números racionales siempre da como resultado un número racional.
Asociativa. Al multiplicar tres o más números racionales se pueden agrupar de diferente forma y el producto no se altera.
Conmutativa. El orden en el que se realiza la multiplicación de dos números racionales no altera el resultado.
Elemento neutro. El producto de un número racional con uno da como resultado el mismo número racional. El 1 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la multiplicación.
Para dividir números racionales en forma de fracción, se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción. Si es posible, se simplifica el resultado.
Las propiedades más usadas de potenciación para a/b € Q, con b =0, n, m € Z son:
(a/b)n . (a/b)m = (a/b)n + m
(a/b)n / (a/b)m = (a/b)n – m
[(a/b)n]m = (a/b) n . m
En la solución de problemas se deben tener en cuenta los siguientes pasos: