LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros está conformado por los números negativos, los positivos el cero. Se simboliza Z:

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Dos números enteros son opuestos si están a la misma distancia del cero en la recta numérica pero tienen signos opuestos.

El valor absoluto de un número entero “a” es la distancia que hay en “a” y “0” en la recta numérica. Se simboliza |a|.

Representación en la recta numérica

Todos los elementos del conjunto de los números enteros se pueden representar gráficamente en la recta numérica así:

Primero, se fija un punto sobre la recta al que se le hace corresponder el cero.
Luego, se dibujan marcas, separadas unas de otras por espacios iguales, tanto a la derecha como a la izquierda.
Finalmente, a cada marca se le asigna un número entero; a la derecha del cero se ubican los enteros positivos y a la izquierda, los enteros negativos, así:

Representación de puntos en el plano cartesiano

En un plano cartesiano se reconocen los siguientes elementos:

La recta numérica horizontal denominada eje x y la recta numérica vertical denominada eje y.
El punto de intersección entre los ejes, llamado origen.
Las cuatro regiones generadas por los dos ejes que dividen al plano son denominadas cuadrantes y se representan con los números romanos I, II, III, IV.

En el plano cartesiano, cada punto se encuentra determinado por una pareja ordenada de números, la cual se escribe entre paréntesis y se separa por medio de una coma. Por ejemplo, la pareja ordenada (4, 3).

En toda pareja ordenada (a, b) se distinguen dos coordenadas: la coordenada a, denominada abscisa, localizada sobre el eje x y la coordenada b, denominada ordenada, ubicada sobre el eje y.

Pon a prueba lo aprendido haciendo clic en el enlace inferior, tendrás la oportunidad de interactuar en tiempo real en el plano cartesiano, dadas unas coordenadas y según un tiempo establecido deberás ubicar los puntos sugeridos por el sistema.

Plano Cartesiano Interactivo

Orden en los números enteros

Al comprar dos números enteros “a” y “b” solamente se pueden presentar una de estas relaciones:

Que “a” sea mayor que “b”. En este caso “a” se ubica a la derecha de “b” en la recta numérica.
Que “a” sea menor que “b”. En este caso “a” se ubica a la izquierda de “b” en la recta numérica.
Que “a” sea igual a “b”. en este caso “a” y “b” representan el mismo punto en la recta.

Adición y sustracción de números enteros

Para sumar dos números enteros se presentan los siguientes casos:

Cuando los dos números enteros tienen igual signo se suman los valores absolutos y se escribe la suma anteponiéndole el signo común de los sumandos.
Cuando los dos números enteros tienen diferente signo se restan sus valores absolutos como números naturales y se escribe la diferencia anteponiéndole el signo del número cuyo valor absoluto es mayor.

Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo.

Propiedades de la adición de números enteros

A continuación se plantean las propiedades que cumple la adición de números enteros.

Clausurativa. La suma de dos números enteros es siempre otro número entero.

Si a € Z y b € Z, entonces, a + b € Z

Por ejemplo, 3 € Z y (—8) € Z; 3 + (—8) = —5 y (—5) € Z

Asociativa. Al agrupar los sumandos de diferente forma, siempre se obtiene el mismo resultado.

Si a, b, c € Z, entonces, (a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo, [(—7) + 3] + 9 = (—4) + 9 = 5

(—7) + [3 + 9]= (—7) + 12 = 5

Por tanto, [(—7) + 3] + 9 = (—7) + [3 + 9]

Conmutativa. El orden en el que se realiza la suma de dos números enteros no altera el resultado.

Si a, b € Z , entonces, a + b = b + a

Por ejemplo, 3 + (—7) = (—4) y (—7) + 3 = (—4).

Por tanto, 3 + (—7) = (—7) + 3.

Elemento neutro. La suma de cualquier número entero con el cero da como resultado el mismo número entero. El 0 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la adición.

Existe 0 € Z tal que 0 + a = a + 0 = a para todo a € Z

Por ejemplo, (—8) + 0 = 0 + (—8) = —8 y 7 + 0 = 0 + 7 = 7

Inverso aditivo u opuesto. Todo número entero sumado con su opuesto da como resultado el módulo de la adición.

Para todo a € Z , existe (—a) € Z tal que a + (—a) = (—a) + a = 0

Por ejemplo, (—5) + 5 = 5 + (—5) = 0.

Por tanto, 5 es el inverso aditivo de (—5) y también (—5) es el inverso aditivo de 5.

Multiplicación y división de números enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican los valores absolutos de los números. Luego, se escribe el producto anteponiéndole el signo que corresponda según la ley de signos, así:

Si los factores tienen signos iguales el producto es positivo.
Si los factores tienen signos diferentes el producto es negativo.

Para dividir un número entero “a” entre un número entero “b”, donde “b” es diferente de “0”, se dividen los valores absolutos de ambos números. Luego, se escribe el cociente anteponiéndole el signo que corresponda según la ley de signos.

Propiedades de lo multiplicación de números enteros

El producto de números enteros cumple las siguientes propiedades.

Clausurativa. La multiplicación de dos números enteros siempre da como resultado un número entero. Es decir,

Si a € Z y b € Z , entonces, a .b € Z

Por ejemplo: (—5) € Z y (—10) € Z, entonces, (—5) X (—10) = 50 y 50 € Z

Asociativa. Tres o más enteros se pueden agrupar de diferente forma y el producto no se altera. Es decir,

Si a € Z, b € Z y c € Z, entonces, (a . b) . c = a . (b . c)

Por ejemplo: [(—5) X (—8)] X (—6) = 40 X (—6) = —240

(—5) X [(—8) x (—6)] = (—5) X 48 = —240

Por tanto, [(—5) X (—8)] X (—6) = (—5) X [(—8) X (—6)]

Conmutativa. El orden en el que se realiza la multiplicación no altera el resultado. Es decir,

si a € Z y b € Z, entonces, a. b = b. a

Por ejemplo: 3 X (—5) = —l 5 y (—5) X 3 = —15.

Luego, 3 X (—5) = (—5) X 3

Elemento neutro. El producto de un número entero con uno da como resultado el mismo número entero. El 1 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la multiplicación. Es decir,

existe 1 € Z tal que 1.a = a.1 para todo a € Z.

Por ejemplo: 1 X (—13) = —13 y (—13) X 1 = —13.

Elemento nulo. El producto de un número entero con cero da como resultado cero. Es decir,

si a € Z, entonces, a.0 = 0.a = 0

Por ejemplo: (—35) X 0 = 0 y 0 X (—35) = 0

Distributiva. Es la propiedad que relaciona la adición o la sustracción y la multiplicación de números enteros. Es decir,

si a, b, c € Z, entonces, a .(b ± c) = (a . b) ± (a . c).

Por ejemplo: (—3). [2 + (—5)] = (—3). 2 + (—3). (—5) = (—6) + 15 = 9

Potenciación y radicación de números enteros

La potencia permite simplificar la multiplicación de varios factores iguales. En ella se presentan los siguientes elementos:

aⁿ ₌ b

La radicación es una relación inversa a la potenciación, ya que dados el exponente y la potencia permite encontrar la base. En esta se encuentran los siguientes elementos:

Propiedades de la potenciación

Producto de potencias de igual base. Para multiplicar potencias de igual base, y con diferente exponente, se deja la misma base y se suman los exponentes.

Cociente de potencias de igual base. Para dividir potencias de igual base y diferente exponente, se deja la misma base y se restan los exponentes.

Potencia de una potencia. En ocasiones, la base de una potencia es otra potencia. Para resolver una potencia elevada a un exponente, se deja la base y se multiplican los exponentes.

Potencia de un producto. Para calcular la potencia de un producto, se eleva cada factor del producto al exponente indicado.

Potencia de un cociente. Para calcular la potencia de un cociente, se eleva a dicha potencia cada uno de los términos de la división.

Otras propiedades de la potenciación

Exponente uno. Todo número entero elevado al exponente uno da como resultado el mismo número entero.

Exponente cero. Todo número entero diferente de cero, elevado al exponente cero da como resultado une.

Potencia de uno. Uno elevado a un exponente entero, da como resultado 1.

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la cual se desconocen uno o más números conocidos como incógnitas. Para resolver una ecuación se utiliza la propiedad uniforme: Si a, b, c € Z y a = b se cumple que:

a + c = b + c

a x c = b x c

a – c = b – c

a / c = b / c, donde c ≠ 0